回复: 数学难题解答区
呵呵，你初一就做这么有挑战性的题目啊?我来跟你说说吧！
首先因为x^2-xy+y^2=(x-0.5y)^2+0.75y^2≥0，现在题目说x+y=x^2-xy+y^2，所以x+y>=0。
下面说明如果原方程有整数解，那么解不可能出现负数。否则，假设y<0.而x+y>=0,故xy<=0，因而x^2-xy+y^2>=x^2+y^2，所以x>x+y>=x^2+y^2，但x是整数，所以必有x<=x^2，而y^2>0，故得到x<= x^2+y^2，矛盾！同理，x也不可能是负数。于是x>=0,y>=0。
在x+y=x^2-xy+y^2两边同时乘以x+y，得到(x+y)^2=x^3+y^3，但是要注意到如果x,y都大于2的话，那么x^3+y^3=x*x^2+y*y^2>2x^2+2y^2，而（2x^2+2y^2）－(x+y)^2=(x-y)^2>=0。因而x^3+y^3>2x^2+2y^2>=(x+y)^2，所以此时方程无整数解！从而可知x,y中至少有一个不超过2.。先假设x不超过2，但x又是非负整数，那么它只可能取0，1或2。分别代入原方程解得x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。同理假设y不超过2,也可得到(或由x,y的对称性得) x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。
所以原不定方程的所有整数解为x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0或x=1,y=2或x=2,y=1或x=2,y=2。一共有六组。
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